二次函数 `y=-2x^2+8x-3` 求解报告

1. 🎯 问题描述

已知二次函数 $y=-2x^2+8x-3$，求：

该二次函数的顶点坐标为 $(2, 5)$。由于二次项系数 $-2 < 0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，最大值为 $5$。

图表说明：

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问题分析：这是一个标准的二次函数性质分析问题。二次函数的一般形式为 $y = ax^2 + bx + c$。本题中，$a = -2, b = 8, c = -3$。

方法选择：可以通过配方法将一般式转化为顶点式 $y = a(x-h)^2 + k$，从而直接读出顶点 (h, k) 和最值。也可以利用导数法求极值点。这里我们使用 SymPy 进行符号计算，通过求导数的方法来确定顶点和最值。

推导过程：

求导数：对 y = -2x^2 + 8x - 3 关于 x 求导：
\frac{dy}{dx} = -4x + 8
求驻点：令导数为 0，解方程：
-4x + 8 = 0 \implies x = 2
求顶点坐标：将 x = 2 代入原函数求 $y$：
y = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = -8 + 16 - 3 = 5
所以顶点坐标为 $(2, 5)$。
判断最值：计算二阶导数：
\frac{d^2y}{dx^2} = -4
因为二阶导数小于 0，说明该驻点是极大值点。对于二次函数，极大值即为全局最大值。

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Critical points (x): [2]
Vertex: (2, 5)
Second derivative: -4
The vertex is a maximum.
Maximum value: 5