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严浩 895e71532d 01-基石题-test

2026-01-09 17:17:01 +08:00

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二次函数 `y=-2x^2+8x-3` 求解报告

1. 🎯 问题描述

已知二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$，求：

函数的顶点坐标
函数的最大值

2. ✅ 最终结论

这个二次函数的开口向下（因为 $a = -2 < 0$），所以它有一个最高点。通过顶点公式计算，顶点坐标为 $(2, 5)$，这也是函数的最大值点。也就是说，当 x = 2 时，函数取得最大值 $y = 5$。

3. 📈 可视化

$函数图像$

图表说明：

蓝色曲线：函数 y = -2x^2 + 8x - 3 的图像
红色圆点：函数的顶点 $(2, 5)$，即最大值点

从图像中可以清晰地看到，抛物线开口向下，在 x = 2 处达到最高点，对应 $y = 5$。

4. 🧠 数学建模与解题过程

点击展开

问题分析

这是一个关于二次函数性质的问题。对于一般形式的二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，其图像是一条抛物线。我们需要：

找到抛物线的顶点坐标
确定函数的最大值（如果存在）

方法选择

本题可以采用两种方法求解：

方法一：顶点公式法

二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为：

x = -\frac{b}{2a}, \quad y = f\left(-\frac{b}{2a}\right)

方法二：求导法

对函数 y = ax^2 + bx + c 求导：

y' = 2ax + b

令 $y' = 0$，解得临界点：

x = -\frac{b}{2a}

再通过二阶导数 y'' = 2a 判断极值性质：

当 a > 0 时，$y'' > 0$，为极小值点
当 a < 0 时，$y'' < 0$，为极大值点

推导过程

使用顶点公式法：

已知 $a = -2$，$b = 8$，c = -3

顶点的 x 坐标：
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \times (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2
顶点的 y 坐标（将 x = 2 代入原函数）：
y = -2 \times 2^2 + 8 \times 2 - 3 = -2 \times 4 + 16 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5

因此，顶点坐标为 $(2, 5)$。

使用求导法验证：

求一阶导数：
y' = \frac{d}{dx}(-2x^2 + 8x - 3) = -4x + 8
令 $y' = 0$，解得临界点：
-4x + 8 = 0 \Rightarrow x = 2
求二阶导数：
y'' = \frac{d}{dx}(-4x + 8) = -4
由于 $y'' = -4 < 0$，所以 x = 2 是极大值点。
将 x = 2 代入原函数：
y = -2 \times 2^2 + 8 \times 2 - 3 = 5

两种方法得到相同的结果。

最大值分析

因为 $a = -2 < 0$，抛物线开口向下，所以顶点处的 y 值就是函数的最大值。

y_{\text{max}} = 5

5. 📊 运行结果