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# 二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 求解报告
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## 1. 🎯 问题描述
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已知二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$，求：
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1. 函数的顶点坐标
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2. 函数的最大值
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## 2. ✅ 最终结论
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这是一个开口向下的抛物线（因为二次项系数 $a = -2 < 0$），通过配方可以将其化为顶点式 $y = -2(x-2)^2 + 5$。
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**顶点坐标为 $(2, 5)$**，这意味着抛物线的对称轴是直线 $x = 2$。
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由于抛物线开口向下，函数在顶点处取得**最大值 $y_{\max} = 5$**，此时 $x = 2$。
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## 3. 📈 可视化
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**图表说明**：
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- **蓝色曲线**：二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 的图像
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- **红色圆点**：顶点 $(2, 5)$，即函数取得最大值的位置
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- **绿色虚线**：对称轴 $x = 2$
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- **橙色点线**：最大值水平线 $y = 5$
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- **绿色三角**：与 $x$ 轴的两个交点
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- **紫色方块**：与 $y$ 轴的交点 $(0, -3)$
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## 4. 🧠 数学建模与解题过程
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<summary><strong>点击展开</strong></summary>
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### 问题分析
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这是一个标准的二次函数求顶点问题。二次函数的一般形式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中：
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- $a = -2$（决定开口方向和宽窄）
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- $b = 8$
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- $c = -3$
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### 方法一：配方法
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将二次函数化为顶点式 $y = a(x-h)^2 + k$：
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$$
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\begin{aligned}
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y &= -2x^2 + 8x - 3 \\
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&= -2(x^2 - 4x) - 3 \\
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&= -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3 \\
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&= -2(x - 2)^2 + 8 - 3 \\
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&= -2(x - 2)^2 + 5
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\end{aligned}
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$$
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从顶点式可直接读出：顶点坐标为 $(2, 5)$。
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### 方法二：公式法
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对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，顶点坐标公式为：
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$$
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x_{\text{顶点}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \times (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2
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$$
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将 $x = 2$ 代入原函数：
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$$
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y_{\text{顶点}} = -2 \times 2^2 + 8 \times 2 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5
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$$
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### 方法三：求导法（微积分验证）
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对函数求导：
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$$
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y' = \frac{d}{dx}(-2x^2 + 8x - 3) = -4x + 8
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$$
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令 $y' = 0$，解得 $x = 2$。
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二阶导数 $y'' = -4 < 0$，确认 $x = 2$ 处为极大值点。
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### 最大值判断
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由于 $a = -2 < 0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值：
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$$
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y_{\max} = 5 \quad (\text{当 } x = 2 \text{ 时})
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$$
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</details>
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## 5. 📊 运行结果
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<summary><strong>点击展开</strong></summary>
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二次函数 y = -2x² + 8x - 3 求解
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1. 顶点坐标
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使用公式 x = -b/(2a) = -8/(2×-2) = 2.0
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代入求 y = -2×2.0² + 8×2.0 + (-3) = 5.0
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顶点坐标: (2, 5)
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2. 函数最大值
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由于 a = -2 < 0，抛物线开口向下
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函数在顶点处取得最大值
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最大值: y_max = 5
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SymPy 符号计算验证
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导数: y' = 8 - 4*x
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令 y' = 0，解得 x = [2]
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二阶导数: y'' = -4 < 0，确认为最大值点
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顶点坐标: (2, 5)
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最大值: 5
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配方形式验证
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配方形式: y = -2(x - 2)² + 5
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展开验证: -2*x**2 + 8*x - 3
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与原式相等: True
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