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# 二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 求解报告
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## 1. 🎯 问题描述
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已知二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$，求：
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1. 函数的顶点坐标
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2. 函数的最大值
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需要绘图。
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## 2. ✅ 最终结论
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对于二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$：
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1. 顶点坐标为 (2, 5)
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2. 由于函数开口向下（$a = -2 < 0$），顶点是函数的最大值点，因此函数的最大值为 5
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## 3. 📈 可视化
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**图表说明**：
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- 蓝色曲线：函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$
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- 红色圆点：顶点 (2, 5)
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- 从图中可以清楚地看到函数开口向下，顶点为最高点
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## 4. 🧠 数学建模与解题过程
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<summary><strong>点击展开</strong></summary>
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**问题分析**：这是一个标准的二次函数求顶点和最值问题。给定函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 是一个开口向下的抛物线（因为二次项系数 $a = -2 < 0$），所以存在最大值。
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**方法选择**：可以使用导数方法或顶点公式方法求解。
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**推导过程**：
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1. **使用导数方法**：
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- 对函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 求导：$y' = -4x + 8$
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- 令导数为0：$-4x + 8 = 0$
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- 解得 $x = 2$
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2. **求顶点的y坐标**：
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- 将 $x = 2$ 代入原函数：$y = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$
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- 所以顶点坐标为 (2, 5)
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3. **验证函数开口方向**：
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- 二次项系数 $a = -2 < 0$，所以函数开口向下
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- 因此顶点是函数的最大值点
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4. **使用顶点公式验证**：
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- 对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$
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- 其中 $a = -2$, $b = 8$, $c = -3$
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- $x = -\frac{8}{2 \times (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$
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- $y = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = 5$
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- 验证结果一致
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## 5. 📊 运行结果
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<summary><strong>点击展开</strong></summary>
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给定二次函数: y = -2*x**2 + 8*x - 3
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函数的一阶导数: 8 - 4*x
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导数为0的点: [2]
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顶点坐标: (2, 5)
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函数的二阶导数: -4
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由于二次项系数为负数，函数开口向下，顶点为最大值点
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函数的最大值: 5
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使用顶点公式验证:
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顶点x坐标: x = -b/(2a) = -8/(2*-2) = 2.0
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顶点y坐标: y = -2*(2.0)^2 + 8*(2.0) + -3 = 5.0
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最终答案:
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1. 函数的顶点坐标: (2, 5)
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2. 函数的最大值: 5
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