20260109_163430_quadratic_vertex工具GithubCopilot模型gemini-3-pro-preview

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+# 二次函数 $y=-2x^2+8x-3$ 求解报告
+
+## 1. 🎯 问题描述
+
+已知二次函数 $y=-2x^2+8x-3$，求：
+1. 函数的顶点坐标
+2. 函数的最大值
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+## 2. ✅ 最终结论
+
+该二次函数的顶点坐标为 $(2, 5)$。
+由于二次项系数 $-2 < 0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，最大值为 $5$。
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+## 3. 📈 可视化
+
+![函数图像](figure.png)
+
+**图表说明**：
+- 蓝色曲线：二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 的图像
+- 红色圆点：函数的顶点 $(2, 5)$，也是函数的最高点
+
+## 4. 🧠 数学建模与解题过程
+
+<details>
+<summary><strong>点击展开</strong></summary>
+
+**问题分析**：
+这是一个标准的二次函数性质分析问题。二次函数的一般形式为 $y = ax^2 + bx + c$。
+本题中，$a = -2, b = 8, c = -3$。
+
+**方法选择**：
+可以通过配方法将一般式转化为顶点式 $y = a(x-h)^2 + k$，从而直接读出顶点 $(h, k)$ 和最值。
+也可以利用导数法求极值点。
+这里我们使用 SymPy 进行符号计算，通过求导数的方法来确定顶点和最值。
+
+**推导过程**：
+
+1.  **求导数**：
+    对 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 关于 $x$ 求导：
+    $$ \frac{dy}{dx} = -4x + 8 $$
+
+2.  **求驻点**：
+    令导数为 0，解方程：
+    $$ -4x + 8 = 0 \implies x = 2 $$
+
+3.  **求顶点坐标**：
+    将 $x = 2$ 代入原函数求 $y$：
+    $$ y = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = -8 + 16 - 3 = 5 $$
+    所以顶点坐标为 $(2, 5)$。
+
+4.  **判断最值**：
+    计算二阶导数：
+    $$ \frac{d^2y}{dx^2} = -4 $$
+    因为二阶导数小于 0，说明该驻点是极大值点。
+    对于二次函数，极大值即为全局最大值。
+
+</details>
+
+## 5. 📊 运行结果
+
+<details>
+<summary><strong>点击展开</strong></summary>
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+```
+Critical points (x): [2]
+Vertex: (2, 5)
+Second derivative: -4
+The vertex is a maximum.
+Maximum value: 5
+```
+
+</details>