# 二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 求解报告

## 1. 🎯 问题描述

已知二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$，求：

1. 函数的顶点坐标
2. 函数的最大值

## 2. ✅ 最终结论

这是一个开口向下的抛物线（因为二次项系数 $a = -2 < 0$），通过配方可以将其化为顶点式 $y = -2(x-2)^2 + 5$。

**顶点坐标为 $(2, 5)$**，这意味着抛物线的对称轴是直线 $x = 2$。

由于抛物线开口向下，函数在顶点处取得**最大值 $y_{\max} = 5$**，此时 $x = 2$。

## 3. 📈 可视化

![函数图像](figure.png)

**图表说明**：

- **蓝色曲线**：二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 的图像
- **红色圆点**：顶点 $(2, 5)$，即函数取得最大值的位置
- **绿色虚线**：对称轴 $x = 2$
- **橙色点线**：最大值水平线 $y = 5$
- **绿色三角**：与 $x$ 轴的两个交点
- **紫色方块**：与 $y$ 轴的交点 $(0, -3)$

## 4. 🧠 数学建模与解题过程

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<summary><strong>点击展开</strong></summary>

### 问题分析

这是一个标准的二次函数求顶点问题。二次函数的一般形式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中：
- $a = -2$（决定开口方向和宽窄）
- $b = 8$
- $c = -3$

### 方法一：配方法

将二次函数化为顶点式 $y = a(x-h)^2 + k$：

$$
\begin{aligned}
y &= -2x^2 + 8x - 3 \\
&= -2(x^2 - 4x) - 3 \\
&= -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3 \\
&= -2(x - 2)^2 + 8 - 3 \\
&= -2(x - 2)^2 + 5
\end{aligned}
$$

从顶点式可直接读出：顶点坐标为 $(2, 5)$。

### 方法二：公式法

对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，顶点坐标公式为：

$$
x_{\text{顶点}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \times (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2
$$

将 $x = 2$ 代入原函数：

$$
y_{\text{顶点}} = -2 \times 2^2 + 8 \times 2 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5
$$

### 方法三：求导法（微积分验证）

对函数求导：

$$
y' = \frac{d}{dx}(-2x^2 + 8x - 3) = -4x + 8
$$

令 $y' = 0$，解得 $x = 2$。

二阶导数 $y'' = -4 < 0$，确认 $x = 2$ 处为极大值点。

### 最大值判断

由于 $a = -2 < 0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值：

$$
y_{\max} = 5 \quad (\text{当 } x = 2 \text{ 时})
$$

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## 5. 📊 运行结果

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```
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二次函数 y = -2x² + 8x - 3 求解
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1. 顶点坐标
   使用公式 x = -b/(2a) = -8/(2×-2) = 2.0
   代入求 y = -2×2.0² + 8×2.0 + (-3) = 5.0
   顶点坐标: (2, 5)

2. 函数最大值
   由于 a = -2 < 0，抛物线开口向下
   函数在顶点处取得最大值
   最大值: y_max = 5

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SymPy 符号计算验证
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导数: y' = 8 - 4*x
令 y' = 0，解得 x = [2]
二阶导数: y'' = -4 < 0，确认为最大值点

顶点坐标: (2, 5)
最大值: 5

==================================================
配方形式验证
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配方形式: y = -2(x - 2)² + 5
展开验证: -2*x**2 + 8*x - 3
与原式相等: True
```

</details>