# 二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 顶点与最值 - 求解报告

## 1. 🎯 问题描述

已知二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$，求：

1. 函数的顶点坐标
2. 函数的最大值

## 2. ✅ 最终结论

对于二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$：

**顶点坐标为 $(2, 5)$**。由于二次项系数 $a = -2 < 0$，抛物线开口向下，因此函数在顶点处取得**最大值 $y_{max} = 5$**，此时 $x = 2$。

换句话说，当 $x = 2$ 时，函数值达到最大，为 $5$；当 $x$ 偏离 $2$ 时（无论向左还是向右），函数值都会减小。

## 3. 📈 可视化

![函数图像](figure.png)

**图表说明**：

- **蓝色曲线**：二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 的图像
- **红色圆点**：顶点 $(2, 5)$，即函数的最高点
- **绿色方块**：函数与 $x$ 轴的两个交点（零点）
- **紫色虚线**：对称轴 $x = 2$
- **橙色点线**：最大值参考线 $y = 5$
- **浅蓝色区域**：函数值大于零的区域

## 4. 🧠 数学建模与解题过程

<details>
<summary><strong>点击展开</strong></summary>

**问题分析**：这是一个关于二次函数顶点和最值的基本问题。对于一般形式的二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，其图像是一条抛物线，顶点坐标和最值可以通过多种方法求解。

**方法选择**：本题采用三种方法相互验证：

### 方法一：顶点公式

对于 $y = ax^2 + bx + c$，顶点坐标为：

$$\left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right)$$

本题中 $a = -2$，$b = 8$，$c = -3$，代入得：

$$x_{顶点} = -\frac{8}{2 \times (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$$

$$y_{顶点} = \frac{4 \times (-2) \times (-3) - 8^2}{4 \times (-2)} = \frac{24 - 64}{-8} = \frac{-40}{-8} = 5$$

### 方法二：求导法

对函数求导：

$$y' = \frac{d}{dx}(-2x^2 + 8x - 3) = -4x + 8$$

令 $y' = 0$，解得 $x = 2$。

将 $x = 2$ 代入原函数：$y = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$

### 方法三：配方法

$$y = -2x^2 + 8x - 3$$

$$= -2(x^2 - 4x) - 3$$

$$= -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3$$

$$= -2(x - 2)^2 + 8 - 3$$

$$= -2(x - 2)^2 + 5$$

顶点式为 $y = -2(x - 2)^2 + 5$，直接读出顶点 $(2, 5)$。

**结论**：三种方法结果一致，顶点为 $(2, 5)$。由于 $a = -2 < 0$，抛物线开口向下，函数在 $x = 2$ 处取得最大值 $5$。

</details>

## 5. 📊 运行结果

<details>
<summary><strong>点击展开</strong></summary>

```
==================================================
二次函数 y = -2x² + 8x - 3 求解
==================================================

【方法1：顶点公式】
a = -2, b = 8, c = -3
顶点横坐标 x = -b/(2a) = -8/(2×-2) = 2.0
顶点纵坐标 y = (4ac-b²)/(4a) = 5.0

【方法2：SymPy 求导验证】
y' = 8 - 4*x
令 y' = 0，解得 x = [2]
将 x = 2 代入原函数：y = 5

【方法3：配方法】
y = -2x² + 8x - 3
  = -2(x² - 4x) - 3
  = -2(x² - 4x + 4 - 4) - 3
  = -2(x - 2)² + 8 - 3
  = -2(x - 2)² + 5
顶点形式：y = -2(x - 2)² + 5

==================================================
【最终结果】
==================================================
顶点坐标：(2, 5)
由于 a = -2 < 0，抛物线开口向下
函数最大值：y_max = 5（在 x = 2 处取得）
```

</details>