# 二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 求解报告

## 1. 🎯 问题描述

已知二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$，求：
1. 函数的顶点坐标
2. 函数的最大值
需要绘图。

## 2. ✅ 最终结论

对于二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$：
1. 顶点坐标为 (2, 5)
2. 由于函数开口向下（$a = -2 < 0$），顶点是函数的最大值点，因此函数的最大值为 5

## 3. 📈 可视化

![函数图像](figure.png)

**图表说明**：

- 蓝色曲线：函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$
- 红色圆点：顶点 (2, 5)
- 从图中可以清楚地看到函数开口向下，顶点为最高点

## 4. 🧠 数学建模与解题过程

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<summary><strong>点击展开</strong></summary>

**问题分析**：这是一个标准的二次函数求顶点和最值问题。给定函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 是一个开口向下的抛物线（因为二次项系数 $a = -2 < 0$），所以存在最大值。

**方法选择**：可以使用导数方法或顶点公式方法求解。

**推导过程**：

1. **使用导数方法**：
   - 对函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 求导：$y' = -4x + 8$
   - 令导数为0：$-4x + 8 = 0$
   - 解得 $x = 2$

2. **求顶点的y坐标**：
   - 将 $x = 2$ 代入原函数：$y = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$
   - 所以顶点坐标为 (2, 5)

3. **验证函数开口方向**：
   - 二次项系数 $a = -2 < 0$，所以函数开口向下
   - 因此顶点是函数的最大值点

4. **使用顶点公式验证**：
   - 对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$
   - 其中 $a = -2$, $b = 8$, $c = -3$
   - $x = -\frac{8}{2 \times (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$
   - $y = -2(2)^2 + 8(2) - 3 = 5$
   - 验证结果一致

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## 5. 📊 运行结果

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<summary><strong>点击展开</strong></summary>

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给定二次函数: y = -2*x**2 + 8*x - 3
函数的一阶导数: 8 - 4*x
导数为0的点: [2]
顶点坐标: (2, 5)
函数的二阶导数: -4
由于二次项系数为负数，函数开口向下，顶点为最大值点
函数的最大值: 5

使用顶点公式验证:
顶点x坐标: x = -b/(2a) = -8/(2*-2) = 2.0
顶点y坐标: y = -2*(2.0)^2 + 8*(2.0) + -3 = 5.0

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最终答案:
1. 函数的顶点坐标: (2, 5)
2. 函数的最大值: 5
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