# 二次函数 $y=-2x^2+8x-3$ 求解报告

## 1. 🎯 问题描述

已知二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$，求：
1. 函数的顶点坐标
2. 函数的最大值

## 2. ✅ 最终结论

这个二次函数的开口向下（因为 $a = -2 < 0$），所以它有一个最高点。通过顶点公式计算，顶点坐标为 $(2, 5)$，这也是函数的最大值点。也就是说，当 $x = 2$ 时，函数取得最大值 $y = 5$。

## 3. 📈 可视化

![函数图像](figure.png)

**图表说明**：

- 蓝色曲线：函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 的图像
- 红色圆点：函数的顶点 $(2, 5)$，即最大值点

从图像中可以清晰地看到，抛物线开口向下，在 $x = 2$ 处达到最高点，对应 $y = 5$。

## 4. 🧠 数学建模与解题过程

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<summary><strong>点击展开</strong></summary>

### 问题分析

这是一个关于二次函数性质的问题。对于一般形式的二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，其图像是一条抛物线。我们需要：
1. 找到抛物线的顶点坐标
2. 确定函数的最大值（如果存在）

### 方法选择

本题可以采用两种方法求解：

**方法一：顶点公式法**

二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的顶点坐标为：
$$x = -\frac{b}{2a}, \quad y = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$$

**方法二：求导法**

对函数 $y = ax^2 + bx + c$ 求导：
$$y' = 2ax + b$$

令 $y' = 0$，解得临界点：
$$x = -\frac{b}{2a}$$

再通过二阶导数 $y'' = 2a$ 判断极值性质：
- 当 $a > 0$ 时，$y'' > 0$，为极小值点
- 当 $a < 0$ 时，$y'' < 0$，为极大值点

### 推导过程

**使用顶点公式法**：

已知 $a = -2$，$b = 8$，$c = -3$

1. 顶点的 x 坐标：
   $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \times (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$$

2. 顶点的 y 坐标（将 $x = 2$ 代入原函数）：
   $$y = -2 \times 2^2 + 8 \times 2 - 3 = -2 \times 4 + 16 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$$

因此，顶点坐标为 $(2, 5)$。

**使用求导法验证**：

1. 求一阶导数：
   $$y' = \frac{d}{dx}(-2x^2 + 8x - 3) = -4x + 8$$

2. 令 $y' = 0$，解得临界点：
   $$-4x + 8 = 0 \Rightarrow x = 2$$

3. 求二阶导数：
   $$y'' = \frac{d}{dx}(-4x + 8) = -4$$

4. 由于 $y'' = -4 < 0$，所以 $x = 2$ 是极大值点。

5. 将 $x = 2$ 代入原函数：
   $$y = -2 \times 2^2 + 8 \times 2 - 3 = 5$$

两种方法得到相同的结果。

### 最大值分析

因为 $a = -2 < 0$，抛物线开口向下，所以顶点处的 y 值就是函数的最大值。

$$y_{\text{max}} = 5$$

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## 5. 📊 运行结果

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<summary><strong>点击展开</strong></summary>

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二次函数：y = -2x² + 8x - 3
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【方法1：顶点公式】
顶点坐标：(2.0, 5.0)

【方法2：求导法】
导数：y' = 8 - 4*x
二阶导数：y'' = -4
临界点：x = 2
代入原函数：y = 5
二阶导数：-4 < 0，故为极大值点

【结论】
1. 顶点坐标：(2.0, 5.0)
2. 函数最大值：5.0
```

</details>