260109-test

260109-test/20260109_quadratic_vertex_max-工具opencode模型GLM47/report.md

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+# 二次函数 $y=-2x^2+8x-3$ 求解报告
+
+## 1. 🎯 问题描述
+
+已知二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$，求：
+1. 函数的顶点坐标
+2. 函数的最大值
+
+## 2. ✅ 最终结论
+
+这个二次函数的开口向下（因为 $a = -2 < 0$），所以它有一个最高点。通过顶点公式计算，顶点坐标为 $(2, 5)$，这也是函数的最大值点。也就是说，当 $x = 2$ 时，函数取得最大值 $y = 5$。
+
+## 3. 📈 可视化
+
+![函数图像](figure.png)
+
+**图表说明**：
+
+- 蓝色曲线：函数 $y = -2x^2 + 8x - 3$ 的图像
+- 红色圆点：函数的顶点 $(2, 5)$，即最大值点
+
+从图像中可以清晰地看到，抛物线开口向下，在 $x = 2$ 处达到最高点，对应 $y = 5$。
+
+## 4. 🧠 数学建模与解题过程
+
+<details>
+<summary><strong>点击展开</strong></summary>
+
+### 问题分析
+
+这是一个关于二次函数性质的问题。对于一般形式的二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，其图像是一条抛物线。我们需要：
+1. 找到抛物线的顶点坐标
+2. 确定函数的最大值（如果存在）
+
+### 方法选择
+
+本题可以采用两种方法求解：
+
+**方法一：顶点公式法**
+
+二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的顶点坐标为：
+$$x = -\frac{b}{2a}, \quad y = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$$
+
+**方法二：求导法**
+
+对函数 $y = ax^2 + bx + c$ 求导：
+$$y' = 2ax + b$$
+
+令 $y' = 0$，解得临界点：
+$$x = -\frac{b}{2a}$$
+
+再通过二阶导数 $y'' = 2a$ 判断极值性质：
+- 当 $a > 0$ 时，$y'' > 0$，为极小值点
+- 当 $a < 0$ 时，$y'' < 0$，为极大值点
+
+### 推导过程
+
+**使用顶点公式法**：
+
+已知 $a = -2$，$b = 8$，$c = -3$
+
+1. 顶点的 x 坐标：
+   $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \times (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$$
+
+2. 顶点的 y 坐标（将 $x = 2$ 代入原函数）：
+   $$y = -2 \times 2^2 + 8 \times 2 - 3 = -2 \times 4 + 16 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$$
+
+因此，顶点坐标为 $(2, 5)$。
+
+**使用求导法验证**：
+
+1. 求一阶导数：
+   $$y' = \frac{d}{dx}(-2x^2 + 8x - 3) = -4x + 8$$
+
+2. 令 $y' = 0$，解得临界点：
+   $$-4x + 8 = 0 \Rightarrow x = 2$$
+
+3. 求二阶导数：
+   $$y'' = \frac{d}{dx}(-4x + 8) = -4$$
+
+4. 由于 $y'' = -4 < 0$，所以 $x = 2$ 是极大值点。
+
+5. 将 $x = 2$ 代入原函数：
+   $$y = -2 \times 2^2 + 8 \times 2 - 3 = 5$$
+
+两种方法得到相同的结果。
+
+### 最大值分析
+
+因为 $a = -2 < 0$，抛物线开口向下，所以顶点处的 y 值就是函数的最大值。
+
+$$y_{\text{max}} = 5$$
+
+</details>
+
+## 5. 📊 运行结果
+
+<details>
+<summary><strong>点击展开</strong></summary>
+
+```
+==================================================
+二次函数：y = -2x² + 8x - 3
+==================================================
+
+【方法1：顶点公式】
+顶点坐标：(2.0, 5.0)
+
+【方法2：求导法】
+导数：y' = 8 - 4*x
+二阶导数：y'' = -4
+临界点：x = 2
+代入原函数：y = 5
+二阶导数：-4 < 0，故为极大值点
+
+【结论】
+1. 顶点坐标：(2.0, 5.0)
+2. 函数最大值：5.0
+```
+
+</details>